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机器学习算法Python实现

一、线性回归

全部代码

1、代价函数

$J(\theta ) = \frac{1}{{2{\text{m}}}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}$
其中： ${h_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + {\theta _2}{x_2} + ...$
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有m条数据，其中 ${{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}$ 代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去
实现代码：

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
    m = len(y)
    J = 0
    
    J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
    return J

注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

2、梯度下降算法

代价函数对 ${{\theta _j}}$ 求偏导得到：
$\frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}$
所以对theta的更新可以写为：
${\theta j} = {\theta j} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}$
其中 $\alpha$ 为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
假设函数f(x)
泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
将△x代入泰勒展开式中：f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
实现代码

# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
    m = len(y)      
    n = len(theta)
    
    temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
    
    
    J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
    
    for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
        h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘
        temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
        theta = temp[:,i]
        J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
        print '.',      
    return theta,J_history

3、均值归一化

目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
${x_i} = \frac{{{x_i} - {\mu _i}}}{{{s_i}}}$
其中 ${{\mu _i}}$ 为所有此feture数据的平均值
${{s_i}}$ 可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
实现代码：

# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
    X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
    #定义所需变量
    mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
    sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
    
    mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
    sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
    for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
        X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
    
    return X_norm,mu,sigma

注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

代价随迭代次数的变化

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

导入包

from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包

归一化

    # 归一化操作
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

线性模型拟合

    # 线性模型拟合
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(x_train, y)

预测

    #预测结果
    result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

全部代码

1、代价函数

$\left{ \begin{gathered} J(\theta ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\cos t({h_\theta }({x^{(i)}}),{y^{(i)}})} \hfill \ \cos t({h_\theta }(x),y) = \left{ {\begin{array}{c} { - \log ({h_\theta }(x))} \ { - \log (1 - {h_\theta }(x))} \end{array} \begin{array}{c} {y = 1} \ {y = 0} \end{array} } \right. \hfill \ \end{gathered} \right.$
可以综合起来为： $J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]$ 其中： ${h_\theta }(x) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}$
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
${ - \log ({h_\theta }(x))}$ 的图像如下，即y=1时：

可以看出，当 ${{h_\theta }(x)}$ 趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若 ${{h_\theta }(x)}$ 趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

同理 ${ - \log (1 - {h_\theta }(x))}$ 的图像如下（y=0）：

2、梯度

同样对代价函数求偏导： $\frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}$
可以看出与线性回归的偏导数一致
推到过程

3、正则化

目的是为了防止过拟合
在代价函数中加上一项 $J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2}$
注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   
    
    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J

正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad

4、S型函数（即 ${{h_\theta }(x)}$ ）

实现代码：

# S型函数    
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置
    
    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
eg:映射为2次方的形式: $1 + {x_1} + {x_2} + x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2$
实现代码：

# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）
    '''
    这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
    '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out

6、使用`scipy`的优化方法

梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta表示初始化的值,
fprime指定costFunction的梯度
args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

    result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np

划分训练集和测试集

    # 划分为训练集和测试集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

归一化

    # 归一化
    scaler = StandardScaler()
    x_train = scaler.fit_transform(x_train)
    x_test = scaler.fit_transform(x_test)

逻辑回归

    #逻辑回归
    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)

预测

    # 预测
    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict == y_test)
    
    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
    print predict
    print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

全部代码

1、随机显示100个数字

我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下灰度图：
实现代码：

# 显示100个数字
def display_data(imgData):
    sum = 0
    '''
    显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
    - 初始化一个二维数组
    - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
    - 显示即可
    '''
    pad = 1
    display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
    for i in range(10):
        for j in range(10):
            display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
            sum += 1
            
    plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
    plt.axis('off')
    plt.show()

2、OneVsAll

如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....
然后调用梯度下降算法求解theta
实现代码：

# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta    
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
    # 初始化变量
    m,n = X.shape
    all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta
    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
    
    #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    
    
    '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
    for i in range(num_labels):
        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
        all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中
        
    all_theta = np.transpose(all_theta) 
    return all_theta

4、预测

之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
实现代码：

# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = all_theta.shape[0]
    p = np.zeros((m,1))
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1
    
    h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

5、运行结果

10次分类，在训练集上的准确度：

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

1、导入包

from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

2、加载数据

    data = loadmat_data("data_digits.mat") 
    X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
    y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
    y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

3、拟合模型

    model = LogisticRegression()
    model.fit(X, y) # 拟合

4、预测

    predict = model.predict(X) #预测
    
    print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

5、输出结果（在训练集上的准确度）

三、BP神经网络

全部代码

1、神经网络model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（ ${x_0}$ 为补上的bias，通常设为1）
$a_i^{(j)}$ 表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit
${\theta ^{(j)}}$ 为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
$a_1^{(2)} = g(\theta _{10}^{(1)}{x_0} + \theta _{11}^{(1)}{x_1} + \theta _{12}^{(1)}{x_2} + \theta _{13}^{(1)}{x_3})$
$a_2^{(2)} = g(\theta _{20}^{(1)}{x_0} + \theta _{21}^{(1)}{x_1} + \theta _{22}^{(1)}{x_2} + \theta _{23}^{(1)}{x_3})$
$a_3^{(2)} = g(\theta _{30}^{(1)}{x_0} + \theta _{31}^{(1)}{x_1} + \theta _{32}^{(1)}{x_2} + \theta _{33}^{(1)}{x_3})$
输出层
${h_\theta }(x) = a_1^{(3)} = g(\theta _{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \theta _{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \theta _{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \theta _{13}^{(2)}a_3^{(2)})$ 其中，S型函数 $g(z) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}}$ ，也成为激励函数
可以看出 ${\theta ^{(1)}}$ 为3x4的矩阵， ${\theta ^{(2)}}$ 为1x4的矩阵
${\theta ^{(j)}}$ ==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

假设最后输出的 ${h_\Theta }(x) \in {R^K}$ ，即代表输出层有K个单元
$J(\Theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^K {[y_k^{(i)}\log {{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}k}} } + (1 - y_k^{(i)})\log {(1 - {h\Theta }({x^{(i)}}))_k}]$ 其中， ${({h_\Theta }(x))_i}$ 代表第i个单元输出
与逻辑回归的代价函数 $J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]$ 差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

L-->所有层的个数
${S_l}$ -->第l层unit的个数
正则化后的代价函数为
$\theta$ 共有L-1层，
然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
    # 还原theta1和theta2
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
    
    # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
    
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    # 正则化向theta^2
    term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
    
    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)    
    '''代价'''    
    J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
    
    return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络, $\delta _{\text{j}}^{(l)}$ 记为-->l层第j个单元的误差
$\delta _{\text{j}}^{(4)} = a_j^{(4)} - {y_i}$ 《===》 ${\delta ^{(4)}} = {a^{(4)}} - y$ （向量化）
${\delta ^{(3)}} = {({\theta ^{(3)}})^T}{\delta ^{(4)}}.*{g^}({a^{(3)}})$
${\delta ^{(2)}} = {({\theta ^{(2)}})^T}{\delta ^{(3)}}.*{g^}({a^{(2)}})$
没有 ${\delta ^{(1)}}$ ，因为对于输入没有误差
因为S型函数 ${\text{g(z)}}$ 的导数为： ${g^}(z){\text{ = g(z)(1 - g(z))}}$ ，所以上面的 ${g^}({a^{(3)}})$ 和 ${g^}({a^{(2)}})$ 可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
$\Delta _{ij}^{(l)} = 0$ （ $\Delta$ 是大写的 $\delta$ ）
for i=1-m:
- ${a^{(1)}} = {x^{(i)}}$
-正向传播计算 ${a^{(l)}}$ （l=2,3,4...L）
-反向计算 ${\delta ^{(L)}}$ 、 ${\delta ^{(L - 1)}}$ ... ${\delta ^{(2)}}$ ；
- $\Delta _{ij}^{(l)} = \Delta _{ij}^{(l)} + a_j^{(l)}{\delta ^{(l + 1)}}$
- $D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^l\begin{array}{c} {}& {(j \ne 0)} \end{array}$
$D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^lj = 0\begin{array}{c} {}& {j = 0} \end{array}$
最后 $\frac{{\partial J(\Theta )}}{{\partial \Theta {ij}^{(l)}}} = D{ij}^{(l)}$ ，即得到代价函数的梯度
实现代码：

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0]
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy()   # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    
    Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
    Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
      
   
    '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)
    
    
    '''反向传播，delta为误差，'''
    delta3 = np.zeros((m,num_labels))
    delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
    for i in range(m):
        #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
        delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
        Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
        delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
        Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
    
    Theta1[:,0] = 0
    Theta2[:,0] = 0          
    '''梯度'''
    grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
    return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确
利用导数的定义验证： $\frac{{dJ(\theta )}}{{d\theta }} \approx \frac{{J(\theta + \varepsilon ) - J(\theta - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}$
求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：

# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
    '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
    input_layer_size = 3
    hidden_layer_size = 5
    num_labels = 3
    m = 5
    initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
    initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
    X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
    y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
    
    y = y.reshape(-1,1)
    nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
    '''BP求出梯度'''
    grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                     num_labels, X, y, Lambda)  
    '''使用数值法计算梯度'''
    num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    e = 1e-4
    for i in range(nn_params.shape[0]):
        step[i] = e
        loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
        step[i]=0
    # 显示两列比较
    res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
    print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数
实现代码

# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
    W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
    epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
    W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
    return W

8、预测

正向传播预测结果
实现代码

# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = Theta2.shape[0]
    #p = np.zeros((m,1))
    '''正向传播，预测结果'''
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
    h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
    h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
    
    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
    p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

9、输出结果

梯度检查：
随机显示100个手写数字
显示theta1权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度

四、SVM支持向量机

1、代价函数

在逻辑回归中，我们的代价为：
$\cos t({h_\theta }(x),y) = \left{ {\begin{array}{c} { - \log ({h_\theta }(x))} \ { - \log (1 - {h_\theta }(x))} \end{array} \begin{array}{c} {y = 1} \ {y = 0} \end{array} } \right.$ ，
其中： ${h_\theta }({\text{z}}) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}}$ ， $z = {\theta ^T}x$
如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示

我们想让 ${\theta ^T}x > > 0$ ，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数 $\cos {t_1}(z)$ 代替逻辑回归中的cost
当y=0时同样，用 $\cos {t_0}(z)$ 代替
最终得到的代价函数为：
$J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2}$
最后我们想要 $\mathop {\min }\limits_\theta J(\theta )$
之前我们逻辑回归中的代价函数为：
$J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2}$
可以认为这里的 $C = \frac{m}{\lambda }$ ，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明

2、Large Margin

如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
先说一下向量内积
$u = \left[ {\begin{array}{c} {{u_1}} \ {{u_2}} \end{array} } \right]$ ， $v = \left[ {\begin{array}{c} {{v_1}} \ {{v_2}} \end{array} } \right]$
$||u||$ 表示u的欧几里得范数（欧式范数）， $||u||{\text{ = }}\sqrt {{\text{u}}_1^2 + u_2^2}$
向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
${{\text{u}}^T}v = p||u|| = {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2}$

根据向量夹角公式推导一下即可， $\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {\text{u}} \overrightarrow v }}{{|\overrightarrow {\text{u}} ||\overrightarrow v |}}$
前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项 $\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ]$ 要很小，所以近似为：
$J(\theta ) = C0 + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta j^2} = \frac{1}{2}\sum\limits{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2} = \frac{1}{2}(\theta _1^2 + \theta _2^2) = \frac{1}{2}{\sqrt {\theta _1^2 + \theta _2^2} ^2}$ ，
我们最后的目的就是求使代价最小的θ
由
$\left{ {\begin{array}{c} {{\theta ^T}{x^{(i)}} \geqslant 1} \ {{\theta ^T}{x^{(i)}} \leqslant - 1} \end{array} } \right.\begin{array}{c} {({y^{(i)}} = 1)} \ {({y^{(i)}} = 0)} \end{array}$ 可以得到：
$\left{ {\begin{array}{c} {{p^{(i)}}||\theta || \geqslant 1} \ {{p^{(i)}}||\theta || \leqslant - 1} \end{array} } \right.\begin{array}{c} {({y^{(i)}} = 1)} \ {({y^{(i)}} = 0)} \end{array}$ ，p即为x在θ上的投影
如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则 $p||\theta || \geqslant 1$ 或者 $p||\theta || \leqslant - 1$ ，若是p很小，则需要 $||\theta ||$ 很大，这与我们要求的θ使 $||\theta || = \frac{1}{2}\sqrt {\theta _1^2 + \theta _2^2}$ 最小相违背，所以最后求的是large margin

3、SVM Kernel（核函数）

对于线性可分的问题，使用线性核函数即可
对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式 $1 + {x_1} + {x_2} + x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2$ ，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核
高斯核函数为： $f(x) = {e^{ - \frac{{||x - u|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
假设如图几个点，令：
${f_1} = similarity(x,{l^{(1)}}) = {e^{ - \frac{{||x - {l^{(1)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
${f_2} = similarity(x,{l^{(2)}}) = {e^{ - \frac{{||x - {l^{(2)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$ . . .
可以看出，若是x与 ${l^{(1)}}$ 距离较近，==》 ${f_1} \approx {e^0} = 1$ ，（即相似度较大）
若是x与 ${l^{(1)}}$ 距离较远，==》 ${f_2} \approx {e^{ - \infty }} = 0$ ，（即相似度较低）
高斯核函数的σ越小，f下降的越快
如何选择初始的 ${l^{(1)}}{l^{(2)}}{l^{(3)}}...$
训练集： $(({x^{(1)}},{y^{(1)}}),({x^{(2)}},{y^{(2)}}),...({x^{(m)}},{y^{(m)}}))$
选择： ${l^{(1)}} = {x^{(1)}},{l^{(2)}} = {x^{(2)}}...{l^{(m)}} = {x^{(m)}}$
对于给出的x，计算f,令： $f_0^{(i)} = 1$ 所以： ${f^{(i)}} \in {R^{m + 1}}$
最小化J求出θ，
$J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{f^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{f^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2}$
如果 ${\theta ^T}f \geqslant 0$ ，==》预测y=1

4、使用`scikit-learn`中的`SVM`模型代码

全部代码
线性可分的,指定核函数为linear：

    '''data1——线性分类'''
    data1 = spio.loadmat('data1.mat')
    X = data1['X']
    y = data1['y']
    y = np.ravel(y)
    plot_data(X,y)
    
    model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

非线性可分的，默认核函数为rbf

    '''data2——非线性分类'''
    data2 = spio.loadmat('data2.mat')
    X = data2['X']
    y = data2['y']
    y = np.ravel(y)
    plt = plot_data(X,y)
    plt.show()
    
    model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

5、运行结果

线性可分的决策边界：
线性不可分的决策边界：

五、K-Means聚类算法

全部代码

1、聚类过程

聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类
K-Means算法分为两个步骤
第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇
第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。
如下图所示：
随机分配的聚类中心
重新计算聚类中心，移动一次
最后10步之后的聚类中心
计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

# 找到每条数据距离哪个类中心最近    
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
    m = X.shape[0]                  # 数据条数
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数
    dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离
    idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类
    
    '''计算每个点到每个类中心的距离'''
    for i in range(m):
        for j in range(K):
            dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
    
    '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
    - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
    - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
     - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
    '''  
    dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
    return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下

计算类中心实现代码：

# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
    n = X.shape[1]
    centroids = np.zeros((K,n))
    for i in range(K):
        centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
    return centroids

2、目标函数

也叫做失真代价函数
$J({c^{(1)}}, \cdots ,{c^{(m)}},{u_1}, \cdots ,{u_k}) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - {u_{{c^{(i)}}}}|{|^2}}$
最后我们想得到：
其中 ${c^{(i)}}$ 表示第i条数据距离哪个类中心最近，
其中 ${u_i}$ 即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
实现代码：(这里随机一次)

# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
    m = X.shape[0]
    m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1
    centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
    np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    
    rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个
    centroids = X[rand_indices,:]
    return centroids

4、聚类个数K的选择

聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
肘部法则（Elbow method）
作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3
若是很平滑就不明确，人为选择。
第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
执行聚类的算法代码：

# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
    m,n = X.shape                   # 数据条数和维度
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类数
    centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心
    previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心
    idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类
    
    for i in range(max_iters):      # 迭代次数
        print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
        idx = findClosestCentroids(X, centroids)
        if plot_process:    # 如果绘制图像
            plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
            previous_centroids = centroids  # 重置
        centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
    if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
        plt.show()
    return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

导入包

    from sklearn.cluster import KMeans

使用模型拟合数据

    model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据

聚类中心

    centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心

7、运行结果

二维数据类中心的移动
图片压缩

六、PCA主成分分析（降维）

全部代码

1、用处

数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
可视化数据，例如3D-->2D等
......

2、2D-->1D，nD-->kD

如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小
注意数据需要归一化处理
思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
那么nD-->kD就是找k个向量 ${u^{(1)}},{u^{(2)}} \ldots {u^{(k)}}$ ，所有数据投影到上面使投影误差最小
eg:3D-->2D,2个向量 ${u^{(1)}},{u^{(2)}}$ 就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析PCA与线性回归的区别

线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y
PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差

4、PCA降维过程

数据预处理（均值归一化）
公式： ${\rm{x}}_j^{(i)} = {{{\rm{x}}_j^{(i)} - {u_j}} \over {{s_j}}}$
就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
实现代码：

    # 归一化数据
   def featureNormalize(X):
       '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
       n = X.shape[1]
       mu = np.zeros((1,n));
       sigma = np.zeros((1,n))
       
       mu = np.mean(X,axis=0)
       sigma = np.std(X,axis=0)
       for i in range(n):
           X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
       return X,mu,sigma

计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）： $\Sigma = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^n {{x^{(i)}}{{({x^{(i)}})}^T}}$
注意这里的Σ和求和符号不同
协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）
大小为nxn,n为feature的维度
实现代码：

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma

计算Σ的特征值和特征向量
可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)
返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]
还有两个酉矩阵U和V，且 $\Sigma = US{V^T}$
注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U
降维
选取U中的前K列（假设要降为K维）
Z就是对应降维之后的数据
实现代码：

    # 映射数据
   def projectData(X_norm,U,K):
       Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
       
       U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
       Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
       return Z

过程总结：
Sigma = X'*X/m
U,S,V = svd(Sigma)
Ureduce = U[:,0:k]
Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

因为： ${Z^{(i)}} = U_{reduce}^T*{X^{(i)}}$
所以： ${X_{approx}} = {(U_{reduce}^T)^{ - 1}}Z$ （注意这里是X的近似值）
又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足： $A{A^T} = {A^T}A = E$ ，所以： ${A^{ - 1}} = {A^T}$ 】，所以这里：
${X_{approx}} = {(U_{reduce}^{ - 1})^{ - 1}}Z = {U_{reduce}}Z$
实现代码：

    # 恢复数据 
    def recoverData(Z,U,K):
        X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
        U_recude = U[:,0:K]
        X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据（近似）
        return X_rec

6、主成分个数的选择（即要降的维度）

如何选择
投影误差（project error）： ${1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - x_{approx}^{(i)}|{|^2}}$
总变差（total variation）: ${1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}}|{|^2}}$
若误差率（error ratio）： ${{{1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - x_{approx}^{(i)}|{|^2}} } \over {{1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}}|{|^2}} }} \le 0.01$ ，则称99%保留差异性
误差率一般取1%，5%，10%等
如何实现
若是一个个试的话代价太大
之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:
$error{\kern 1pt} ;ratio = 1 - {{\sum\limits_{i = 1}^k {{S_{ii}}} } \over {\sum\limits_{i = 1}^n {{S_{ii}}} }} \le threshold$
可以一点点增加K尝试。

7、使用建议

不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA

8、运行结果

2维数据降为1维
要投影的方向
2D降为1D及对应关系
人脸数据降维
原始数据
可视化部分U矩阵信息
恢复数据

9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

导入需要的包：

#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

归一化数据

    '''归一化数据并作图'''
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)

使用PCA模型拟合数据，并降维
n_components对应要将的维度

    '''拟合数据'''
    K=1 # 要降的维度
    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据，n_components定义要降的维度
    Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作

数据恢复
model.components_会得到降维使用的U矩阵

    '''数据恢复并作图'''
    Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
    x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复

七、异常检测 Anomaly Detection

全部代码

1、高斯分布（正态分布）`Gaussian distribution`

分布函数： $p(x) = {1 \over {\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - {{{{(x - u)}^2}} \over {2{\sigma ^2}}}}}$
其中，u为数据的均值，σ为数据的标准差
σ越小，对应的图像越尖
参数估计（parameter estimation）
$u = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {{x^{(i)}}}$
${\sigma ^2} = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({x^{(i)}} - u)}^2}}$

2、异常检测算法

例子
训练集： ${ {x^{(1)}},{x^{(2)}}, \cdots {x^{(m)}}}$ ,其中 $x \in {R^n}$
假设 ${x_1},{x_2} \cdots {x_n}$ 相互独立，建立model模型： $p(x) = p({x_1};{u_1},\sigma _1^2)p({x_2};{u_2},\sigma _2^2) \cdots p({x_n};{u_n},\sigma n^2) = \prod\limits{j = 1}^n {p({x_j};{u_j},\sigma _j^2)}$
过程
选择具有代表异常的feature:xi
参数估计： ${u_1},{u_2}, \cdots ,{u_n};\sigma _1^2,\sigma _2^2 \cdots ,\sigma _n^2$
计算p(x),若是P(x)<ε则认为异常，其中ε为我们要求的概率的临界值threshold
这里只是单元高斯分布，假设了feature之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到feature之间的关系
参数估计实现代码

# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
    m,n = X.shape
    mu = np.zeros((n,1))
    sigma2 = np.zeros((n,1))
    
    mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
    sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
    return mu,sigma2

3、评价`p(x)`的好坏，以及`ε`的选取

对偏斜数据的错误度量
因为数据可能是非常偏斜的（就是y=1的个数非常少，(y=1表示异常)），所以可以使用Precision/Recall，计算F1Score(在CV交叉验证集上)
例如：预测癌症，假设模型可以得到99%能够预测正确，1%的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有0.5%，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。
如下图记录：
$\Pr ecision = {{TP} \over {TP + FP}}$ ，即：正确预测正样本/所有预测正样本
${\mathop{\rm Re}\nolimits} {\rm{call}} = {{TP} \over {TP + FN}}$ ，即：正确预测正样本/真实值为正样本
总是让y=1(较少的类)，计算Precision和Recall
${F_1}Score = 2{{PR} \over {P + R}}$
还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
ε的选取
尝试多个ε值，使F1Score的值高
实现代码

# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大    
def selectThreshold(yval,pval):
    '''初始化所需变量'''
    bestEpsilon = 0.
    bestF1 = 0.
    F1 = 0.
    step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
    '''计算'''
    for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
        cvPrecision = pval<epsilon
        tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1).ravel()).astype(float)  # sum求和是int型的，需要转为float
        fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0).ravel()).astype(float)
        fn = np.sum((cvPrecision == 0) & (yval == 1).ravel()).astype(float)
        precision = tp/(tp+fp)  # 精准度
        recision = tp/(tp+fn)   # 召回率
        F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision)  # F1Score计算公式
        if F1 > bestF1:  # 修改最优的F1 Score
            bestF1 = F1
            bestEpsilon = epsilon
    return bestEpsilon,bestF1

4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）

如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如log(x+C),x^(1/2)等
如果p(x)的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

单元高斯分布存在的问题
如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）
x1对应的高斯分布如下：
x2对应的高斯分布如下：
可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展
多元高斯分布
$x \in {R^n}$ ，并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn)，而是统一建立p(x)
其中参数： $\mu \in {R^n},\Sigma \in {R^{n \times {\rm{n}}}}$ ,Σ为协方差矩阵
$p(x) = {1 \over {{{(2\pi )}^{{n \over 2}}}|\Sigma {|^{{1 \over 2}}}}}{e^{ - {1 \over 2}{{(x - u)}^T}{\Sigma ^{ - 1}}(x - u)}}$
同样，|Σ|越小，p(x)越尖
例如：
，
表示x1,x2正相关，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了
若：
，
表示x1,x2负相关
实现代码：

# 多元高斯分布函数    
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
    k = len(mu)
    if (Sigma2.shape[0]>1):
        Sigma2 = np.diag(Sigma2)
    '''多元高斯分布函数'''    
    X = X-mu
    argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
    p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行
    return p

6、单元和多元高斯分布特点

单元高斯分布
人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用
计算量小
多元高斯分布
自动捕捉到相关的feature
计算量大，因为： $\Sigma \in {R^{n \times {\rm{n}}}}$
m>n或Σ可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的x，因为线性相关，不可逆，或者就是m<n）

7、程序运行结果

显示数据
等高线
异常点标注

Awesome

机器学习算法Python实现

目录

一、线性回归

1、代价函数

2、梯度下降算法

3、均值归一化

4、最终运行结果

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

二、逻辑回归

1、代价函数

2、梯度

3、正则化

4、S型函数（即）

5、映射为多项式

6、使用scipy的优化方法

7、运行结果

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

1、随机显示100个数字

2、OneVsAll

3、手写数字识别

4、预测

5、运行结果

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

三、BP神经网络

1、神经网络model

2、代价函数

3、正则化

4、反向传播BP

5、BP可以求梯度的原因

6、梯度检查

7、权重的随机初始化

8、预测

9、输出结果

四、SVM支持向量机

1、代价函数

2、Large Margin

3、SVM Kernel（核函数）

4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

5、运行结果

五、K-Means聚类算法

1、聚类过程

2、目标函数

3、聚类中心的选择

4、聚类个数K的选择

5、应用——图片压缩

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

7、运行结果

六、PCA主成分分析（降维）

1、用处

2、2D-->1D，nD-->kD

3、主成分分析PCA与线性回归的区别

4、PCA降维过程

5、数据恢复

6、主成分个数的选择（即要降的维度）

7、使用建议

8、运行结果

9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

七、异常检测 Anomaly Detection

1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution

2、异常检测算法

3、评价p(x)的好坏，以及ε的选取

4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）

5、多元高斯分布

6、单元和多元高斯分布特点

7、程序运行结果

4、S型函数（即 ${{h_\theta }(x)}$ ）

6、使用`scipy`的优化方法

4、使用`scikit-learn`中的`SVM`模型代码

1、高斯分布（正态分布）`Gaussian distribution`

3、评价`p(x)`的好坏，以及`ε`的选取